معادلات تفاضلية

في الرياضيات,
يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات
لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف
من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقاتها هذه
المعادلات . تبرز المعادلات التفاضلية بشكل كبير في تطبيقات الفيزياء و
الكيمياء ، وحتى النماذج الرياضية المتعلقة بالعمليات الحيوية و
الاجتماعية و الاقتصادية .
يمكن تقسيم المعادلات التفاضلية إلى قسمين :

• معادلات تفاضلية نظامية ( Linear Differential.Equation) تحتوي على توابع ذات متغير مستقل واحد و مشتقات هذا المتغير .
  

• معادلات تفاضلية جزئية (Partial Differential.Equation) تحتوي دوال رياضية لأكثر من متغير مستقل مع مشتقاتها الجزئية .
  

تعرف رتبة المعادلة التفاضلية على أنها أعلى رتبة لمشتق موجود في هذه
المعادلة : فإذا حوت المعادلة مشتق أول و مشتق ثان فقط تعتبر من الرتبة
الثانية ... وهكذا .
المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولي تحتوي على مشتقات أولى فقط .
وتعرف درجة المعادلة : بأنها الأس (القوة) التي رفع إليها أعلى تفاضل في المعادلة .

طرق حل المعادلات التفاضلية


توجد طرق عديدة لحل المعادلات التفاضلية منها.

• طرق تحليلية Analytic Solution
  

• طرق رقمية Numerical Solution
  

[1]
ويوجد أكثر من أسلوب للحل العددي وكذلك التحليلي
كما توجد معادلات مشهورة مثل معادلات لابلاس و برنولي وغيرهم
راجع ما يلي :

[ http://www.physics.orst.edu/~rubin/nacphy/ComPhys/DIFFEQ/EXT/class/class.html

درجة المعادلة التفاضلية


- تتحدد درجة المعادلة التفاضلية حسب أس المشتق ذو الرتبة الأعلى ..
مثلا إذا كانت المعادلة التفاضلية من الرتبة الثالثة ، أي أن أعلى تفاضل
فيها هو التفاضل الثالث ، فدرجة المعادلة تتحدد حسب أس هذا التفاضل ، فإذا
كان مرفوعا للأس 5 مثلا تكون المعادلة من الدرجة الخامسة ، وهكذا .
تنقسم المعادلات التفاضلية أيضا إلى خطية وغير خطية . وتكون المعادلة التفاضلية خطية بشرطين :
1- إذا كانت معاملات المتغير التابع والمشتقات فيها دوال في المتغير المستقل فقط أو ثوابت .
2- إذا كان المتغير التابع والمشتقات غير مرفوعة لأسس ، أي كلها من الدرجة الأولى .
وتكون غير خطية فيما عدا ذلك .
ملاحظة : كل معادلة تفاضلية خطية هي من الدرجة الأولى ، بينما ليست كل
المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى هي خطية ، لأن الدرجة تتحدد حسب أس
التفاضل الأعلى ، ومن الممكن أن تكون التفاضلات الأقل مرفوعة لأسس غير
الواحد دون أن يؤثر ذلك على الدرجة ، وهذا يخل بشرط المعادلة الخطية .
- معادلة برنولي معادلة من الرتبة الأولى و الدرجة الأولى و ليست معادلة خطية: n≠1